En este trabajo veremos información sobre la factorización, que es y que métodos existen; también veremos lo que son los productos notables y los tipos que hay de estos.
1. Factorización:
Factorizar: Es descomponer en el producto de sus factores una expresión algebraica
Estos son los 10 de Casos de Factorización
➀ Factorar un Monomio:
En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término
15ab = 3 * 5 a b
➁ Factor Común Monomio:
En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos
Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común
a² + 2a = a ( a + 2 )
➂ Factor Común Polinomio:
x [ a + b ] + m [ a + b ]
En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio
x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )
➃ Factor Común por Agrupación de Términos:
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo
ax + bx + ay + by =
[ax + bx] + [ay + by]
Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio
[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio
x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)
➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²
Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:
☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino
Factorar: m² + 6m + 9
m² + 6m + 9
↓…………..↓
m..............3
↓…………..↓
m..............3
➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[ m ] y [ 3 ]
[ m ] y [ 3 ]
➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado
(m + 3)²
Nota:
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²
➌ Ahora aplica la Regla del TCP
(m + 3)²
El Cuadrado del 1er Termino = m²
[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m
[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9
➍ Junta los Términos
m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla
➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)
De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)
a² - b² = (a - b) (a + b)
4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)
➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:
Factorar (a + b)² - c²
(a + b)² - c²
Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)
[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis
(a + b + c) (a + b – c)
➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + c
Factorar x² + 7x + 12
➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio
(x.......) (x.......)
➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12
4 + 3 = 7
4 x 3 = 12
➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis
(x + 4)(x + 3)
Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)
➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + c
Factorar 6x² - x – 2 = 0
Pasos:
➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación
6x² - x – 2
36x² - [ 6 ] x – 12
➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente
(6x.......) (6x.......)
➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]
➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ]
- 4 + 3 = - 1
[ - 4] [ 3 ] = - 12
➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis
(6x - 4) (6x - 3)
➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos
(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)
Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)
➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³
Suma de Cubos:
a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]
Diferencia de Cubos:
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]
2. Productos Notables:
Son ciertos productos que cumplen ciertas reglas y cuyo resultado lo puedes escribir, por simple inspección sin verificar el resultado
Estos son los Tipos:
➊ Binomio al Cuadrado (x ± 2)² de la Suma o de la Diferencia de 2 Cantidades
Regla:
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El Cuadrado del 1er Termino: (x) = x²
± el Doble del 1er Termino por el 2do Termino: (2x) (2) = ± 4x
+ el Cuadrado del 2do Termino: (2)² = 4
Resultado: (x ± 2)² = x² ± 4x + 4
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▀▀▀▀▀▀▀
➋ Producto de la Suma por la Diferencia de 2 Cantidades
(x - 3) (x + 3) = x² - 9
➌ Binomio al Cubo:
(x + 2)³
Regla:
▀▀▀▀
El Cubo del 1er termino; (x) = x³
▀▀▀▀
El Cubo del 1er termino; (x) = x³
+ el triple del cuadrado del 1er termino por el 2do termino = (3x²)(2) = 6x²
+ el triple del 1er termino por el cuadrado del 2do termino = (3x)(2)² = 12x
+ el cubo del 2do termino (2)³ =
Resultado: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8
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▀▀▀▀▀▀▀
El Cubo de la Diferencia de 2 Cantidades (x - 2)³
Regla:
▀▀▀▀
▀▀▀▀
El cubo del 1er termino; (x) = x³
- el triple del cuadrado del 1er termino por el 2do termino = (3x²)(2) = 6x²
+ el triple del 1er termino por el cuadrado del 2do termino = (3x)(2)² = 12x
- el cubo del 2do termino (2)³ =
Resultado: (x - 2)³ = x³ - 6x² + 12x - 8
▀▀▀▀▀▀▀
▀▀▀▀▀▀▀
➍ Producto de 2 Binomios de la Forma (x + a)(x + b)
(x + 7) (x - 2)
Regla:
▀▀▀▀
▀▀▀▀
El Producto de los 1ros Términos de cada Binomio (x)(x) = x²
x * x = x²
El Producto del 2do Termino del 1er Binomio por el 1er Termino del 2do Binomio [(7*x) = 7x] ± el Producto del 2do termino del 2do Binomio por el 1er Termino del 1er Binomio [(-2 *x)] = -2x
(7x – 2x) = 5x
El Producto de los 2dos Términos de ambos Binomios
[7 * (-2)] = -14
Resultado: (x + 7) (x - 2) = x² + 5x - 14
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▀▀▀▀▀▀▀
➎ Cocientes Notable:
a² - b²
--------- = a - b
a + b
--------- = a - b
a + b
a² - b²
--------- = a + b
a – b
--------- = a + b
a – b
a³ + b³
--------- = a² - ab + b²
a + b
--------- = a² - ab + b²
a + b
a³ - b³
-------- = a² + ab + b²
a – b
-------- = a² + ab + b²
a – b
a⁴- b⁴
----------- = a³ + a²b + ab² + b³
a - b
----------- = a³ + a²b + ab² + b³
a - b
a⁵ - b⁵
----------- = a⁴+ a³b + a²b² + ab³ + b⁴
a - b
----------- = a⁴+ a³b + a²b² + ab³ + b⁴
a - b
a⁴- b⁴
----------- = a³ - a²b + ab² - b³
a + b
----------- = a³ - a²b + ab² - b³
a + b
a⁵ + b⁵
----------- = a⁴- a³b + a²b² - ab³ + b⁴
a + b
----------- = a⁴- a³b + a²b² - ab³ + b⁴
a + b
En conclusión factorización consiste en sacar los números primos de un número (X) #Generalmente los números primos son para que al multiplicarlos por si mismos den el determinado numero (x)#.
Y los productos notables son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre 2 o mas polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, y cumplen ciertas reglas fijas.
Gracias.
