Factorización y Productos Notables

En este trabajo veremos información sobre la factorización, que es y que métodos existen; también veremos lo que son los productos notables y los tipos que hay de estos.

1. Factorización:

Factorizar: Es descomponer en el producto de sus factores una expresión algebraica

Estos son los 10 de Casos de Factorización

➀ Factorar un Monomio:

En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término

15ab = 3 * 5 a b

➁ Factor Común Monomio:

En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos

Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común

a² + 2a = a ( a + 2 )

➂ Factor Común Polinomio:

x [ a + b ] + m [ a + b ]

En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio

x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )

➃ Factor Común por Agrupación de Términos:
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo

ax + bx + ay + by =

[ax + bx] + [ay + by]

Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio

[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio

x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)

➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²

Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:

☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino

Factorar: m² + 6m + 9

m² + 6m + 9
↓…………..↓
m..............3

➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[ m ] y [ 3 ]

➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado

(m + 3)²

Nota:
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²

➌ Ahora aplica la Regla del TCP

(m + 3)²

El Cuadrado del 1er Termino = m²

[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m

[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9

➍ Junta los Términos

m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla

➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)

De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)

a² - b² = (a - b) (a + b)

4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)

➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:

Factorar (a + b)² - c²

(a + b)² - c²

Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)

[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis

(a + b + c) (a + b – c)

➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + c

Factorar x² + 7x + 12

➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio

(x.......) (x.......)

➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12

4 + 3 = 7

4 x 3 = 12

➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis

(x + 4)(x + 3)

Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)

➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + c

Factorar 6x² - x – 2 = 0

Pasos:

➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación

6x² - x – 2

36x² - [ 6 ] x – 12

➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente

(6x.......) (6x.......)

➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]

➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ]

- 4 + 3 = - 1

[ - 4] [ 3 ] = - 12

➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis

(6x - 4) (6x - 3)

➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos

(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)

Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)

➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³

Suma de Cubos:

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)

El cuadrado del 1er termino, [ a² ]

[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]

Diferencia de Cubos:

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)

El cuadrado del 1er termino, [ a² ]

[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]

2. Productos Notables:

Son ciertos productos que cumplen ciertas reglas y cuyo resultado lo puedes escribir, por simple inspección sin verificar el resultado

Estos son los Tipos:

➊ Binomio al Cuadrado (x ± 2)² de la Suma o de la Diferencia de 2 Cantidades

Regla:
▀▀▀▀

El Cuadrado del 1er Termino: (x) = x²

± el Doble del 1er Termino por el 2do Termino: (2x) (2) = ± 4x

+ el Cuadrado del 2do Termino: (2)² = 4

Resultado: (x ± 2)² = x² ± 4x + 4
▀▀▀▀▀▀▀

➋ Producto de la Suma por la Diferencia de 2 Cantidades

(x - 3) (x + 3) = x² - 9

➌ Binomio al Cubo:

(x + 2)³

Regla:
▀▀▀▀
El Cubo del 1er termino; (x) = x³

+ el triple del cuadrado del 1er termino por el 2do termino = (3x²)(2) = 6x²

+ el triple del 1er termino por el cuadrado del 2do termino = (3x)(2)² = 12x

+ el cubo del 2do termino (2)³ =

Resultado: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8
▀▀▀▀▀▀▀

El Cubo de la Diferencia de 2 Cantidades (x - 2)³

Regla:
▀▀▀▀

El cubo del 1er termino; (x) = x³

- el triple del cuadrado del 1er termino por el 2do termino = (3x²)(2) = 6x²

+ el triple del 1er termino por el cuadrado del 2do termino = (3x)(2)² = 12x

- el cubo del 2do termino (2)³ =

Resultado: (x - 2)³ = x³ - 6x² + 12x - 8
▀▀▀▀▀▀▀

➍ Producto de 2 Binomios de la Forma (x + a)(x + b)

(x + 7) (x - 2)

Regla:
▀▀▀▀

El Producto de los 1ros Términos de cada Binomio (x)(x) = x²

x * x = x²

El Producto del 2do Termino del 1er Binomio por el 1er Termino del 2do Binomio [(7*x) = 7x] ± el Producto del 2do termino del 2do Binomio por el 1er Termino del 1er Binomio [(-2 *x)] = -2x

(7x – 2x) = 5x

El Producto de los 2dos Términos de ambos Binomios

[7 * (-2)] = -14

Resultado: (x + 7) (x - 2) = x² + 5x - 14
▀▀▀▀▀▀▀

➎ Cocientes Notable:

a² - b²
--------- = a - b
a + b

a² - b²
--------- = a + b
a – b

a³ + b³
--------- = a² - ab + b²
a + b

a³ - b³
-------- = a² + ab + b²
a – b

a⁴- b⁴
----------- = a³ + a²b + ab² + b³
a - b

a⁵ - b⁵
----------- = a⁴+ a³b + a²b² + ab³ + b⁴
a - b

a⁴- b⁴
----------- = a³ - a²b + ab² - b³
a + b

a⁵ + b⁵
----------- = a⁴- a³b + a²b² - ab³ + b⁴
a + b

En conclusión factorización consiste en sacar los números primos de un número (X) #Generalmente los números primos son para que al multiplicarlos por si mismos den el determinado numero (x)#.

Y los productos notables son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre 2 o mas polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, y cumplen ciertas reglas fijas.

Gracias.

11 COMPETENCIAS GENÉRICAS DE LA RIEMS

COMPETENCIAS GENÉRICAS PARA LA 

EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DE 

MÉXICO (RIEMS)

Se autodetermina y cuida de sí

1.- Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

• Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.
• Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante una situación que lo rebase.
• Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida.
• Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.
• Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones.
• Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas.

2.- Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

• Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.
• Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la comunicación entre individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad.
• Participa en prácticas relacionadas con el arte.

3.- Elige y practica estilos de vida saludables.

• Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social.
• Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo.
• Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean.

  

Se expresa y se comunica

4.- Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

• Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
• Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.
• Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.
• Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas.
• Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.
• Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
• Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
• Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.
• Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
• Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas.
• Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

Piensa crítica y reflexivamente

5.- Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6.- Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

• Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
• Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.
• Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.
• Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

  

Aprende de forma autónoma

7.-Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

• Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.
• Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
• Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.
• Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
• Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
• Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
• Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo democrático de la sociedad.
• Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos.
• Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual y el interés general de la sociedad.
• Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado.
• Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global interdependiente.

Trabaja en forma colaborativa

8.-Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la 

sociedad

9.-Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

1.  
   • Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.

 10.- Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

• Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación.
• Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio.
• Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local, nacional e internacional.

11.- Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

• Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional.
• Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global interdependiente.
• Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al ambiente.